Operaciones Con Números Complejos

Vamos a discutir operaciones con números complejos: Al hablar de los números complejos, se dice que es un cuerpo algebraicamente cerrado, ya que cualquier ecuación polinómica que tenga coeficientes complejos también tiene raíces de números negativos y por lo tanto se trata de raíces complejas. En contraste, los números reales no pueden ser algebraicamente cerrados porque ninguna de sus ecuaciones polinómicas posee ceros reales y por lo tanto no poseen una clausura algebraica, la única clausura que posee el cuerpo de números reales, es cualquiera de los números complejos y por lo tanto el surgimiento de una nueva ecuación que la transforma en un cuerpo complejo. Siga leyendo para aprender más acerca de operaciones con números complejos.

Las Operaciones Con Números Complejos

Pero al igual que en los números reales, existen operaciones con números complejos que permiten la manipulación de los elementos en una ecuación. Así mismo, las propiedades conmutativas de los números reales se pueden aplicar en las operaciones fundamentales de los números complejos, haciendo que existan elementos básicos para poder operar con estos números, y son:

    Unidad 1=(1,0)
    Elemento neutro 0=(0,0)
    Elemento opuesto -a=(-b,-c)
    fraccionario Inverso \frac{1}{a}=\left(\frac{b}{b^2+c^2},\frac{-c}{b^2+c^2}\right), siempre que a\not=0

 

Suma De Complejos

Como se sabe, un número complejo se forma de la suma de un número real más un número imaginario, esta suma será uno de los sumandos de una suma más grande cuando se realiza la adición entre dos o más números complejos. En la representación binómica de esta forma:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i


Tomando este ejemplo, se puede decir que la sustracción de números complejos es similar a las suma de complejos en las operaciones con números complejos, así:

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i


Para representar la adición de números complejos en forma polar, dentro del plano complejo, se usa una interpretación geométrica donde cada uno de los sumandos es un punto en el plano y al construir un paralelogramo que una a estos dos puntos con el punto de origen en forma de triángulo y da como origen un nuevo punto en el plano que es equivalente al cuarto ángulo del paralelogramo, perpendicular al ángulo formado en el punto de origen. Gráficamente un número complejo con nombre a más un número complejo con nombre b  se vería así en el plano:

Operaciones Con Números Complejos - Suma De Complejos

Imagen: Operaciones Con Números Complejos

Por ejemplo, si tenemos la siguiente suma de complejos, se resuelve de la siguiente manera:

z=(2+3i)+(4+i) \\ z=(2+4)+(3i+i) \\ z=6+4i


Para representar esta suma en el plano complejo, podemos nombrar los sumandos como z_{1}  y z_{2}  correspondiente a 2+3 y 4+i  respectivamente. Para que se vea así:

Operaciones Con Números Complejos - Suma Números Complejos

Imagen: Suma Números Complejos

Multiplicación De Números Complejos

Para realizar la multiplicación de números complejos se debe usar la siguiente fórmula:

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i


Tomando en cuenta además que la unidad imaginaria al cudrado es igual a -1:

i^2=i\times i=-1


Por ejemplo, tenemos los dos números complejos 4+3i y 3-2i  que van a ser multiplicados de esta manera:

x=(4+3i) \times (3-2i) \\ x=12-8i+9i-6i^2 \\ x=12+6+i \\ x=18+i


Nótese que -6i^2  se transforma en 6  ya que se multiplica el negativo -6 \times -1  y el número imaginario lo transforma en positivo.

División De Números Complejos

Para dividir un número complejo para otro, se debe multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del mismo:

\frac{a+bi}{c+di} =\frac{(a+bi)\times (c-di)}{(c+di)\times (c-di)} =\frac{(ac+bd)+ (bc-ad)i}{c^2+d^2} =\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i


La fórmula se cumple solo si al menos uno de c y d no son iguales a 0. A continuación un sencillo ejemplo

\frac{4+3i}{2-3i} =\frac{(4+3i)\times (2+3i)}{(2-3i)\times (2+3i)} =\frac{8+12i+6i+9i^2}{2^2+3^2} =\frac{-1+18i}{13} =-\frac{1}{13}+\frac{18}{13}i

Valor Absoluto De Un Número Complejo

El cuerpo de números complejos no es un cuerpo ordenado de la misma forma que lo son los números reales, así que para poder obtener un valor absoluto de un número complejo se utiliza el siguiente elemento matemático:

|a|=\sqrt{a^2}


De allí se desprende que para calcular el valor absoluto de un número complejo, este puede verse representado de esta forma:

a+bi=\sqrt{a^2+b^2}


Por ejemplo, el valor absoluto o también llamado módulo del número complejo 7+2i  se obtiene de esta forma:

4+3i=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}

es decir que el valor absoluto o módulo de este número es 5.

Argumento De Un Número Complejo

El argumento de a+bi, por otro lado, es el ángulo del radio del punto de origen hasta el punto en el eje real del número complejo y se escribe como \arg(r), y como con el módulo, el argumento puede encontrarse desde la forma rectangular a+bi:

 \alpha =\arg(r)=\begin{cases}\begin{array}{ll} \arctan\left(\frac{a}{b}\right)&\mbox{Si $b>0$} \\ \arctan\left(\frac{a}{b}\right)+\pi&\mbox{Si $b<0$ y $a\geq 0$} \\ \arctan\left(\frac{a}{b}\right)-\pi&\mbox{Si $b<0$ y $a<0$} \\ \frac{\pi}{2}&\mbox{Si $b=0$ y $a>0$} \\ -\frac{\pi}{2}&\mbox{Si $b=0$ y $a<0$} \\ \mbox{indeterminado} &\mbox{Si $b=0$ y $a=0$}\end{array}\end{cases}


El valor de \alpha  siempre se debe expresar en radianes. Se puede aumentar al integrar múltiplos de 2/pi  con el mismo ángulo como resultado. Pero hay que tomar en cuenta que el ángulo polar de un número complejo 0  es indeterminado, pero una opción arbitraria del ángulo 0  es común.
A continuación la representación gráfica del número complejo en su forma polar:

Operaciones Con Números Complejos - Argumento De Un Número Complejo

Juntos, r  y \alpha  dan como resultado una nueva manera de representar de forma gráfica los números complejos, la forma polar, que es la combinación del módulo y el argumento que especifican un punto en el plano y cuyo resultado se obtiene mediante la fórmula trigonométrica para recuperar las coordenadas rectangulares de la forma polar así:

a+bi=r({\cos\alpha}+{i\sin\alpha})


Si se utiliza la fórmula de Euler este ejemplo se puede escribir en la forma exponencial que se obtiene a través de la forma polar de los números complejos como:

a+bi=|r|e^i\alpha

Conjugado De Un Número Complejo

El conjugado de cualquier número es su simétrico contrario. En los números complejos se define por ser el contrario en relación al eje real del plano complejo, es decir que si un número complejo dado a+bi, se obtiene su conjugado como a-bi. Aunque este no debe ser confundido con el opuesto que está relacionado con el origen -a-bi. Aquí están los ejemplos en el plano complejo para que se entienda su ubicación en forma polar:

Operaciones Con Números Complejos - Conjugado De Un Número Complejo

Se puede ver que x+iy  tiene su opuesto en -x-iy  en la línea de color verde, mientras que el conjugado está en la línea de color azul bajo el valor de x-iy.

Esto pone fin al artículo Operaciones Con Números Complejos.

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