Ejercicios Resueltos De Números Complejos

A continuación propondremos algunos ejercicios resueltos de números complejos con sus respectivas soluciones, sin embargo, para aprender realmente a operar con complejos, lo mejor es tomar la ecuación y resolverla de forma independiente para luego comparar los resultados y así empezar a practicar los ejercicios de números complejos hasta convertirse en un experto en el tema.

Los Ejercicios Resueltos De Números Complejos

Se empezará con los más sencillos y poco a poco se irá poniendo ejercicios más difíciles para retar tus conocimientos y seguir mejorando con la práctica. Aquí veremos unas cuantas sumas y restas básicas. Recuerda que con los números complejos se debe utilizar la propiedad asociativa de las matemáticas para poder operar, ya que cada número complejo está compuesto por una parte real y una parte imaginaria que deben ser sumadas por separado y el resultado será otro número complejo:

1.

(6+3i)+(-7+2i)-(5-i)= \\ (6-7-5)+(3+2+1)i=-6+6i

2.

-(32+15i)+(16-4i)-(-8-6i)= \\ (-32+16+8)+(-15-4+6)i=8-13i

3.

(2-3i)-(3+2i)-(4+4i)= \\ (2-3-4)+(-3-2-4)i=-5-9i

Ahora se pasará a las multiplicaciones, que mezcladas con sumas también resultan en un número complejo. Sin embargo, no hay que olvidar que cuando se multiplica, hay muchas posibilidades de obtener el número imaginario al cuadrado i^2 que tiene como resultado -1  y por lo tanto convertirá en el negativo real de cualquier cifra imaginaria:

4.

(-3+4i)\times (5-2i)= \\ -15+6i+20i-8i^2=7+26i

5.

\left((-3+4i)-(5-2i)\right)\times \frac{3}{2}= \\ \left((-3-5)+(4+2)i\right)\times \frac{3}{2}=(-8+6i)\times \frac{3}{2}=\frac{-24+18i}{2}=-12+9i

6.

\left((-3+4i)\times (7i)\right)+\left(\frac{3}{2}\times 7i\right) \\ (-3+4i)\times (7i)=-21i+28i^2=-28-21i \\ \frac{3}{2}\times 7i = \frac{21}{2}i \\ (-28-21i)+\frac{21}{2}i=-28+\left(\frac{-42i+21i}{2}\right)=-28-\frac{21}{2}i

Con las divisiones se opera con similitud a como se hace con los números reales al multiplicar el numerador y el denominador con el conjugado del denominador. Ya se había hablado del conjugado de los números complejos en un apartado anterior, pero lo recordamos para reforzar el conocimiento. Siga leyendo para aprender todo acerca de los ejercicios resueltos de números complejos.

El conjugado del número complejo es su simétrico contrario en relación al eje real del plano complejo, es decir que el número real mantiene su valor mientras que el negativo del imaginario ocupa el lugar de la parte correspondiente, por ejemplo, si a+bi  entonces su conjugado es a-bi  pero cabe recalcar que no se debe confundir a este con el opuesto que se consigue en relación al origen del plano complejo y transforma al número complejo en ambas de sus partes como -a-bi.
Entonces las divisiones se logran con el conjugado del número complejo de esta forma:

7.

\frac{5-2i}{-3-4i}= \\ \frac{(5-2i)\times (-3-4i)}{(-3+4i)\times (-3-4i)}=\frac{-15-20i+6i+8i^2}{9+12i-12i-16i^2}=\frac{-23-14i}{25}=-\frac{23}{25}-\frac{14}{25}

8.

\frac{-3+4i}{2\frac{3}{2}+7i} \\ \frac{-3+4i}{3+7i}=\frac{(-3+4i)\times (3-7i)}{(3+7i)\times (3-7i)}=\frac{-9+21i+12i-28i^2}{9-49i^2}=\frac{-9+33i+28}{9+49}=\frac{19+33i}{58}=\frac{-23}{25}-\frac{14}{25}i

9.

\frac{5+6i}{3-3i}= \\ \frac{(5+6i)\times (3+3i)}{(3-3i)\times (3+3i)}=\frac{15+15i+18i+18i^2}{9-9i^2}=\frac{15+33i-18}{9+9}=\frac{-3+33i}{18}=\frac{-3}{18}+\frac{33}{18}i

También se había hablado del valor absoluto o módulo de los números complejos que se obtiene a través de una sencilla fórmula:

|z|=\sqrt{a^2+b^2}


Y expresado de otra manera se puede obtener a través de la la raíz enésima de cualquier número con la fórmula:

r^{`}=\sqrt[n]{r}


Siendo así, también se debe calcular el argumento para poder obtener la raíz de un número complejo que se obtiene como:

\alpha^{`}=\frac{\alpha +2\pi k}{n} \\ k=0,1,2,3,?(n-1)


En el siguiente ejemplo se puede ver a estas fórmulas en acción:

\sqrt[6]{1+i} |z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \\ \alpha=\arctan \frac{+1}{+1}=45^{\circ} \\ z=\left(\sqrt{2}\right)_{45^{\circ}}


A continuación, para poder sacar el argumento se procede de la siguiente manera y con la fórmula antes descrita para este propósito:

\sqrt[6]{\left(\sqrt{2}\right)_{45^{\circ}}}


|z^{`}|=\sqrt[6]{\left(\sqrt{2}\right)}=\sqrt[12]{2}


\alpha=\frac{45^{\circ}+360^{\circ}k}{6}=\begin{cases}\begin{array}{lll} k=0 & \alpha_{1}=7^{\circ} 30^{`} & z_{1}^{`}=\left(\sqrt[12]{2}\right)_{7^{\circ} 30^{`}}\\ k=1 & \alpha_{2}=67^{\circ} 30^{`} & z_{2}^{`}=\left(\sqrt[12]{2}\right)_{67^{\circ} 30^{`}} \\ k=2 & \alpha_{3}=127^{\circ} 30^{`} & z_{3}^{`}=\left(\sqrt[12]{2}\right)_{127^{\circ} 30^{`}} \\ k=3 & \alpha_{4}=187^{\circ} 30^{`} & z_{4}^{`}=\left(\sqrt[12]{2}\right)_{187^{\circ} 30^{`}} \\ k=4 & \alpha_{5}=247^{\circ} 30^{`} & z_{5}^{`}=\left(\sqrt[12]{2}\right)_{247^{\circ} 30^{`}} \\ k=5 & \alpha_{6}=307^{\circ} 30^{`} & z_{6}^{`}=\left(\sqrt[12]{2}\right)_{307^{\circ} 30^{`}}\end{array}\end{cases}

Finalmente, cuando se realiza potencias de números complejos se debe tomar en cuenta la teoría de números imaginarios en la potenciación y que en su forma polar, es más sencillo manipular números complejos, siendo que:

\alpha=r_{1}\left(\cos \theta_{1}+i \sin \theta_{1}\right) \\ \beta= r_{2}\left(\cos \theta_{2}+i \sin \theta_{2}\right) \\ \alpha\beta= r_{1}\left(\cos \theta_{1}+i \sin \theta_{1}\right) r_{2}\left(\cos \theta_{2}+i \sin \theta_{2}\right) \\ r_{1}r_{2}\left(\cos \theta_{1}+i \sin \theta_{1}\right) \left(\cos \theta_{2}+i \sin \theta_{2}\right) \\ r_{1}r_{2}\left(\cos \theta_{1}\cos \theta_{2}-\sin \theta_{1}\sin \theta_{2}\right)+i\left(\sin \theta_{1}\cos \theta_{2}-\sin \theta_{2}\cos \theta_{1}\right) \\ r_{1}r_{2}\left[\cos\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)+i\sin\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\right]


Sin embargo, con el argumento y el módulo, la operación se vuelve más sencilla con la fórmula:

\left(r_{\alpha}\right)^{n}=\left(r\right)_{n\times \alpha}^{n}


Así se puede ver en el siguiente ejemplo.

\left(2_{30^{\circ}}\right)^{4}=2_{4\times 30^{\circ}}^{4}=16_{120^{\circ}}

Esto termina nuestros ejercicios resueltos de números complejos.

One comment on “Ejercicios Resueltos De Números Complejos
  1. zainab dice:

    para mi ha sido muy util y me ha echo entender mejor los complejos

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